Volání problémy tisíciletí Existuje sedm matematických problémů, které představuje Clay Matematický ústav v roce 2000 jako výzva pro matematickou komunitu. Slíbená odměna je jeden milión dolarů pro každý z těchto problémů, pokud jsou vyřešeny. Do dnešního dne byl však prokázán pouze jeden z nich. Tyto problémy jsou považovány za jedny z nejsložitějších v současné matematice a jejich řešení by mohlo představovat významný pokrok nejen v matematice, ale i v příbuzných oblastech, jako je fyzika, informatika a kryptografie.
Jaké jsou problémy tisíciletí?
L problémy tisíciletí Jde o řadu dohadů nebo matematických tvrzení, u kterých bylo ověřeno, že jsou v souladu se známými důkazy, ale řešení se zatím nenašlo. přesný matematický důkaz která je potvrzuje. Řešení jednoho z těchto problémů zahrnuje nejen pochopení tvrzení do hloubky, ale také prokázání jeho pravdivosti na solidním matematickém základě. Svědčí o tom fakt, že zatím byl vyřešen pouze jeden z těchto problémů obtížnost z nich.
El Clay Matematický ústav položil tyto problémy na podporu rozvoje matematických znalostí. Pokud je problém vyřešen, ústav nabízí nejen prestiž vyřešení některých nejsložitějších otázek v moderní matematice, ale také odměnu jeden milión dolarů. Celkem je původně navrženo sedm výzev, z nichž zatím byla vyřešena pouze jedna. Podívejme se níže, v čem tyto problémy spočívají.
Poincarého domněnka
La Poincarého domněnka Je to jediný problém tisíciletí, který byl dosud vyřešen. To bylo navrženo francouzským matematikem Henri Poincaré v roce 1904 a představovalo hypotézu v oblasti topologie, související s charakterizací trojrozměrné sféry. Dohad říká, že každá trojrozměrná varieta, která je jednoduše připojena, musí být homeomorfní k trojrozměrné kouli.
Dohadu nakonec vyřešil ruský matematik Grigorij Perelman v roce 2002, který zveřejnil svůj důkaz nekonvenčním způsobem: publikoval jej online místo toho, aby jej předložil vědeckému časopisu. I když zpočátku panovala skepse ohledně jeho přístupu, jeho práce byla ověřena jinými matematiky a v roce 2006 získal Fieldsova medaile. Perelman však odmítl cenu i milion dolarů nabízených Clay Institutem.
P versus NP
Jeden z nejznámějších problémů výpočetní teorie je nazýván P versus NP. Tato matematická hádanka vyvolává otázku, zda všechny problémy, které lze rychle ověřit, lze také rychle vyřešit. Ve více formálních termínech, problém má definovat zda P (množina problémů, které mohou být vyřešeny v polynomiálním čase) je roven NP (množina problémů jehož výsledky mohou být ověřeny v polynomiálním čase).
Řešení tohoto problému by mělo revoluční důsledky v několika oblastech, včetně kryptografie, la umělá inteligence a optimalizace. Pokud by se P rovnalo NP, mnoho úkolů, které jsou dnes pro počítače nesmírně komplikované, jako je dešifrování hesel, kryptografie nebo vyřešit komplikované optimalizační problémy, lze provést v mnohem kratších časech.
Hodgeova domněnka
La Hodgeova domněnka vzniká v oboru algebraická geometrie a algebraická topologie. Obecně platí, že pro komplexní projektivní algebraickou varietu určité cykly, které se objevují v de Rhamově kohomologii, odpovídají algebraické třídy pododrůd. Tyto algebraické cykly by byly racionálními lineárními kombinacemi algebraických podvariet.
Jednou z největších výzev pro tuto domněnku je, že se jedná o obor, který zahrnuje obě disciplíny, a nástroje potřebné k jeho vyřešení nemusí patřit pouze algebraické pole o diferenciální, ale vyžadují mnohem transverzálnější a složitější techniky.
Riemannova hypotéza
Pózoval v roce 1859 německý matematik Bernhard RiemannTato hypotéza je jedním z nejstarších a nejzáhadnějších matematických problémů. The Riemannova hypotéza odkazuje na distribuci prvočísla a uvádí, že všechny netriviální nuly Riemannovy zeta funkce mají jako svou reálnou část hodnotu 1/2.
Riemannova zeta funkce má velmi úzký vztah k prvočíslům, a pokud by byla tato hypotéza prokázána, došlo by k hlubšímu pochopení rozdělení prvočísel. Mnoho matematiků věří, že hypotéza je správná, a byly vypočítány biliony nul, které odpovídají domněnce, ale zatím nebylo dosaženo úplného důkazu.
Existence Yang-Mills a hromadný skok
La Yang-Millsova teorie Je klíčovou součástí částicové fyziky a kvantové teorie pole. Původně byl strukturován tak, aby modeloval elektromagnetické pole a později byl aplikován na kvantovou chromodynamiku, která popisuje interakce mezi kvarky a gluony v atomovém jádře. Matematický problém spočívá v prokázání existence a přesné platnosti Yang-Millsových rovnic a pochopení toho, jak je rovnice generována. hmotnostní mezera.
Fenomén hmotnostní mezery se týká toho, proč bezhmotné částice jako gluony ve své klasické formě získávají v kvantové teorii konečnou hmotnost. Ačkoli byly dosud provedeny simulace na superpočítačích, které tuto domněnku podporují, přesný matematický důkaz zůstává v nedohlednu.
Navier-Stokesovy rovnice
the Navierovy–Stokesovy rovnice jsou soustavou rovnic, které popisují pohyb tekutiny jako jsou kapaliny a plyny. Tyto rovnice byly formulovány v 19. století a jsou základem pro pochopení dynamiky tekutin, od proudění vzduchu ovlivňujícího letadla po počasí a mořské proudy. Nicméně, složitost těchto rovnic neumožnil matematikům plně porozumět určitému chování, jako je vznik turbulence nebo přechod z laminárního proudění na turbulentní proudění.
Matematická výzva spočívá v demonstraci za určitých počátečních podmínek, zda lze plynulé řešení (tj. bez singularit) Navier-Stokesových rovnic v průběhu času udržet, nebo zda naopak vznikají singularity, které ovlivňují jeho kontinuitu.
Birch a domněnka Swinnerton-Dyer
Tento hádat, navržený anglickými matematiky Bryan Birch y Peter Swinnerton-Dyer v 1960. letech se zabývá racionálním řešením k eliptické křivky. Eliptické křivky jsou algebraické objekty, které lze ve své nejjednodušší verzi zobrazit jako čáry v rovině a teorie čísel spojuje s těmito křivkami řadu aritmetických vlastností.
Dohad naznačuje, že existuje způsob, jak určit, zda má eliptická křivka konečný nebo nekonečný počet racionálních řešení, na základě určitých vlastností jejího L funkce. Řešení tohoto problému by zahrnovalo klíčové pokroky v oblastech, jako je kryptografie, protože eliptické křivky jsou zásadní v mnoha moderních šifrovacích systémech.
Vyřešení kteréhokoli z těchto problémů by bylo bezprecedentním úspěchem a transformovalo by matematiku, stejně jako nabízí bohaté finanční odměny a věčné akademické zásluhy.